Задачи по ядерной физике с решениями — типовые примеры

Подборка типовых задач по ядерной физике с подробными решениями. Подходит для подготовки к экзамену, контрольной работе или зачёту.

Задача 1: Энергия связи ядра

Условие: Найти энергию связи и удельную энергию связи ядра ⁵⁶Fe (железо-56). Масса ядра M = 55.9349 а.е.м.

Дано: Z = 26, N = 30, A = 56, m_p = 1.00728 а.е.м., m_n = 1.00866 а.е.м., 1 а.е.м. = 931.5 МэВ

Решение:

Дефект массы: Δm = Z·m_p + N·m_n − M

Δm = 26 × 1.00728 + 30 × 1.00866 − 55.9349

Δm = 26.18928 + 30.25980 − 55.9349 = 0.51418 а.е.м.

Энергия связи: E_св = Δm × 931.5 = 0.51418 × 931.5 = 479.1 МэВ

Удельная энергия связи: ε = E_св / A = 479.1 / 56 = 8.56 МэВ/нуклон

Ответ: E_св = 479.1 МэВ, ε = 8.56 МэВ/нуклон.

Задача 2: Период полураспада

Условие: Активность препарата ¹³¹I (йод-131) составляет 3.7 × 10⁹ Бк. Через какое время активность уменьшится в 1000 раз? Период полураспада T₁/₂ = 8.04 суток.

Решение:

A(t) = A₀ · (1/2)^(t/T₁/₂)

A(t)/A₀ = 1/1000

(1/2)^(t/T₁/₂) = 1/1000

t/T₁/₂ = log₂(1000) = ln(1000) / ln(2) = 6.908 / 0.693 = 9.97

t = 9.97 × 8.04 = 80.1 суток

Ответ: через ~80 суток.

Задача 3: Число оставшихся ядер

Условие: Начальное количество радиоактивных ядер ⁶⁰Co (кобальт-60) составляет N₀ = 10¹⁰. Сколько ядер останется через 15 лет? T₁/₂ = 5.27 года.

Решение:

N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T₁/₂)

N = 10¹⁰ · (1/2)^(15/5.27)

15/5.27 = 2.847

N = 10¹⁰ · (1/2)^2.847 = 10¹⁰ · 0.139 = 1.39 × 10⁹ ядер

Ответ: N ≈ 1.39 × 10⁹ ядер.

Задача 4: Энергия ядерной реакции

Условие: Определить энергию реакции ⁷Li + p → 2 · ⁴He. Массы: M(⁷Li) = 7.01601 а.е.м., m_p = 1.00728 а.е.м., M(⁴He) = 4.00260 а.е.м.

Решение:

Q = [M(⁷Li) + m_p − 2·M(⁴He)] × 931.5

Q = [7.01601 + 1.00728 − 2 × 4.00260] × 931.5

Q = [8.02329 − 8.00520] × 931.5

Q = 0.01809 × 931.5 = 16.85 МэВ

Q > 0 — реакция экзотермическая (выделяет энергию).

Ответ: Q = 16.85 МэВ.

Задача 5: Дозиметрия

Условие: Рабочий находится на расстоянии 2 м от точечного гамма-источника. Мощность дозы на этом расстоянии составляет 50 мкЗв/ч. На каком расстоянии мощность дозы снизится до допустимого уровня 2.5 мкЗв/ч?

Решение:

По закону обратных квадратов: Ḋ₁ · r₁² = Ḋ₂ · r₂²

r₂ = r₁ · √(Ḋ₁/Ḋ₂)

r₂ = 2 · √(50/2.5) = 2 · √20 = 2 · 4.47 = 8.94 м

Ответ: на расстоянии ~9 м.

Задача 6: Толщина защитного экрана

Условие: Какой толщины свинцовый экран нужен для ослабления гамма-излучения (E = 1 МэВ) в 100 раз? Линейный коэффициент ослабления свинца μ = 0.77 см⁻¹.

Решение:

I/I₀ = e^(−μd) = 1/100

e^(−μd) = 0.01

−μd = ln(0.01) = −4.605

d = 4.605 / 0.77 = 5.98 см

Ответ: толщина экрана ~6 см.

Задача 7: Активность

Условие: Масса радиоактивного изотопа ¹³⁷Cs составляет 1 мкг. Найти активность. T₁/₂ = 30.17 лет.

Решение:

Число атомов: N = (m / M) · N_A = (10⁻⁶ / 137) × 6.022 × 10²³ = 4.395 × 10¹⁵

Постоянная распада: λ = ln2 / T₁/₂ = 0.693 / (30.17 × 3.156 × 10⁷) = 7.28 × 10⁻¹⁰ с⁻¹

Активность: A = λ · N = 7.28 × 10⁻¹⁰ × 4.395 × 10¹⁵ = 3.20 × 10⁶ Бк = 3.20 МБк

Ответ: A ≈ 3.2 МБк (86.5 мкКи).

Задача 8: Цепная реакция

Условие: Коэффициент размножения нейтронов k = 1.005. Время жизни поколения нейтронов (с учётом запаздывающих) l ≈ 0.1 с. Во сколько раз возрастёт мощность реактора за 10 секунд?

Решение:

n(t) = n₀ · e^((k−1)·t/l)

n(10)/n₀ = e^(0.005 × 10 / 0.1) = e^(0.5) = 1.65 раза

Ответ: мощность возрастёт в ~1.65 раза.

Вывод

Эти задачи охватывают основные темы курса ядерной физики: энергию связи, радиоактивный распад, ядерные реакции, дозиметрию и кинетику реактора. Для успешной сдачи экзамена важно не только запомнить формулы, но и понимать физику каждого процесса.